Polinômios
Introdução aos Polinômios
- O que seria um Polinômio?
Um polinômio é uma expressão algébrica formada pela soma ou subtração de monômios, em que os expoentes das variáveis são números inteiros não negativos.
- Exemplo 1:
\[
P(x) = 3x^3 – 2x^2 + 5x – 7
\]
Onde:
\[
“3x³”, “-2x²”,”5x” e “-7″\ são\ os\ termos\ do\ polinômio.
\]
\[
“-7″\ representa\ o\ termo\ independente,\ pois\ não\ é\ multiplicado\ pela\ varíavel\ x.
\]
\[
Os\ números\ “3”, “-2”, “5” e “-7″\ são\ os\ coeficientes\ do\ polinômio.
\]
\[
O\ grau\ do\ polinômio\ é\ o\ maior\ expoente\ da\ variável\ x,\ neste\ caso,\ 3.
\]
- Exemplo 2 :
\[
P(x) = 4x^4 – 2x^2 + 7
\]
Neste caso:
\[
Grau: 4
\]
\[
Coeficientes: “4”, “-2” e “7”
\]
\[Termo\ independente:\ 7
\]
- O que não é um polinômio?
- Expoentes negativos ou fracionários:
\[
x^{-1} + 2 \quad \text{ou} \quad x^{\frac{1}{2}} + 3
\] - Variáveis no denominador:
\[
\frac{1}{x} + 5
\] - Funções trigonométricas, exponenciais ou logaritmos:
\[
\sin(x) + x^2 \quad \text{ou} \quad e^x + 3x
\] - Radicais com variável:
\[
\sqrt{x} + 1 \quad \text{ou} \quad \sqrt[3]{x^2} + x
\]
- Operações com Polinômios:
1.Adição e Subtração
Para somar ou subtrair polinômios, basta somar ou subtrair os coeficientes dos termos que possuem o mesmo grau.
Exemplo:
\[
P(x) = 3x^2 + 2x + 1 \quad \text{e} \quad Q(x) = x^2 – 4x + 3
\]
- Soma:
\[
P(x) + Q(x) = (3x^2 + 2x + 1) + (x^2 – 4x + 3)
\]
\[
P(x) + Q(x) = 4x^2 – 2x + 4
\] - Subtração:
\[
P(x) – Q(x) = (3x^2 + 2x + 1) – (x^2 – 4x + 3)
\]
\[
P(x) – Q(x) = 2x^2 + 6x – 2
\]
2.Multiplicação:
Multiplica-se cada termo de um pelo outro, e depois se somam os termos semelhantes.
Exemplo:
\[
P(x) = x + 2 \quad \text{e} \quad Q(x) = x + 3
\]
\[
P(x) \cdot Q(x) = (x + 2)(x + 3)
\]
\[
P(x) \cdot Q(x) = x^2 + 3x + 2x + 6
\]
\[
P(x) \cdot Q(x) = x^2 + 5x + 6
\]
3.Raízes de um Polinômio
As raízes são os valores de “x” que tornam o polinômio igual a zero.
Exemplo:
\[
P(x) = x^2 – 5x + 6
\]
Para encontrar as raízes:
\[
x^2 – 5x + 6 = 0
\]
\[
(x – 2)(x – 3) = 0
\]
Logo, as raízes são:
\[
x = 2 \quad \text{e} \quad x = 3
\]
Testando x = 2:
\[
P(2) = (2)^2 – 5(2) + 6
\]
\[
P(2) = 4 – 10 + 6
\]
\[
P(2) = 0
\]
Testando x = 3:
\[
P(3) = (3)^2 – 5(3) + 6
\]
\[
P(3) = 9 – 15 + 6
\]
\[
P(3) = 0
\]
4.Avaliação Numérica
Podemos calcular o valor de um polinômio substituindo a variável por um número.
Exemplo:
\[
P(x) = 2x^2 + 3x – 5
\]
Calcular P(2):
\begin{align*}
P(2) &= 2(2)^2 + 3(2) – 5 \\
&= 2(4) + 6 – 5 \\
&= 8 + 6 – 5 \\
&= 9
\end{align*}
Resultado:
\[
P(2) = 9
\]
Exercício: (UEAAM) Uma pequena empresa que fabrica camisetas verificou que o lucro obtido com a venda de seus produtos obedece à função L(x) = 75x – 3000, sendo L(x) o lucro em reais e x o número de camisetas vendidas, para 40 < x ≤ 120. Para que o lucro da empresa chegue a R$ 4.000,00, o menor número de camisetas a serem vendidas é:
A) 97.
B) 96.
C) 95.
D) 94.
E) 93.
-
-
- Resolução:\[
\text{Seja } L(x) = 4000, \text{ então:}
\]\[
L(x) = 4000
\]\[
4000 = 75x – 3000
\]\[
4000 + 3000 = 75x
\]\[
7000 = 75x
\]\[
x = \frac{7000}{75}
\]\[
x \approx 93,33\ldots
\]\[
\text{Portanto, o número mínimo de camisetas que devem ser vendidas é } 94.
\]Alternativa D
- Resolução:\[
-