O que é Fatoração?

Fatoração é uma forma de escrever uma expressão algébrica como um produto de fatores menores.
Ou seja, é “desmontar” uma expressão em partes mais simples que, quando multiplicadas, dão o mesmo resultado original.

EXEMPLO:

\[ 6x=2.3x \]

Onde [math] 2 [/math] vezes o [math] 3x [/math] são fatores do [math]6x[/math].

 

Porque aprendemos fatoração?

A utilidade da fatoração serve para varias funções como:

1. Simplificar expressões algébricas;
2. Resolver equações;
3. Encontrar raízes de polinômios;
4. Facilitar cálculos matemáticos e demonstrações.

 

E quais são os principais tipos de fatorações ?

Fator comum em evidencia:

Quando há um número ou letra que aparece em todos os termos.

Exemplo:
\[ 6x+9=3(2x+3) \]

(o fator comum é [math] 3 [\math])

Agrupamento:

Usado quando não há um fator comum em todos os termos, mas é possível agrupar partes para formar fatores comuns.

Exemplo:
\[ ax+ay+bx+by=(a+b)(x+y) \]

Diferença de quadrados:

Quando há dois quadrados subtraídos.
Fórmula: \[ a^2−b^2=(a−b)(a+b) \]

Exemplo:
\[ x^2−9=(x−3)(x+3) \]

Trinômio quadrado perfeito:

Quando a expressão é o quadrado de um binômio.
Fórmula:
\[ a^2+2ab+b2=(a+b)^2 \]

Exemplo:
\[ x^2+6x+9=(x+3)^2 \]

Diferença de cubos
\[ a^3−b^3=(a−b)(a^2+ab+b^2) \]

Soma de cubos
\[ a^3+b^3=(a+b)(a2−ab+b2) \]

DICA!!

Sempre procure o que todos os termos têm em comum.
Se não tiver nada, tente organizar a expressão para formar padrões conhecidos (como quadrados ou cubos).

 

TIPO DE FATORAÇÃO	FÓRMULA	EXEMPLO
Fator comum	\[ ab+ac=a(b+c)\]	\[ 2x+2y=2(x+y) \]
Agrupamento	\[ ax+ay+bx+by=(a+b)(x+y) \]	\[ 3x+3y+zx+zy=(3+z)(x+y) \]
Diferença de quadrados	\[ a^2−b^2=(a−b)(a+b) \]	\[ x^2−16=(x−4)(x+4) \]
Trinômio quadrado perfeito	\[ a^2+2ab+b^2=(a+b)^2 \]	\[ x^2+4x+4=(x+2)^2 \]
Cubos (dif. e soma)	\[ a^3±b^3=(a±b)(a^2∓ab+b^2) \]	\[ x^3+8=(x+2)(x^2−2x+4) \]

Exercícios resolvidos:

Exercício 1- Utilizando o fator comum em evidência fatore a expressão abaixo.

\[18x^4+12x^2+10x\]

Devemos procurar um divisor que seja comum ao 18, 12 e 10. Como os três são divisíveis por dois, este é um fator comum.

Em relação à incógnita, a menor potência é x, sendo o fator comum, Fora dos parênteses colocamos o fator comum e dentro, o resultado das divisões das parcelas originais por 2x, Para verificar a resposta, é possível fazer a prova real, aplicando a distributiva e multiplicando 2x pelas parcelas dentro do parênteses. Assim, retornamos à expressão original.

Resposta:\[18x^4+12x^2+10x = 2x.(9x^3+6x+5)\]

Exercício 2- Utilize o agrupamento na fatoração de [math] 3ax-3b+9a-bx [/math]

Primeiro, agrupe em pares:

\[ (3ax−bx)+(9a−3b)\]

Coloque fator comum em cada grupo:

No primeiro grupo:

\[ 3ax−bx=x(3a−b)\] 

No segundo grupo:

\[ 9a−3b=3(3a−b)\] 

Agora ambos os grupos têm o mesmo fator [math] (3a−b)[/math]:

\[ x(3a−b)+3(3a−b)\]

Coloque o fator comum em evidência:

\[ (3a−b)(x+3)\] 

Resposta:\[ 3ax-3b+9a-bx=(3a−b)(x+3)\]

Exercício 3- Fatore o trinômio quadrado perfeito a seguir: \[25a^2+20a+4\]

Verificamos se o primeiro e o terceiro termos podem ser escritos com uma potência de expoente [math]2[/math].

\[ 25a^2=(5a)^2 \]

\[ 4=2^2\]

Verificamos se o segundo termo pode ser escrito como um produto das bases das potências com o número [math]2[/math].

\[ 20a=2.5a.2 \]

Resposta: \[ 25a^2+20a+4 = (5a+2)^2 \]

Exercício 4- Escreva a diferença de dois quadrados a seguir como um produto entre expressões algébricas \[ 36a^4-9b^2\]

Escrevemos os termos como potências de expoentes [math]2[/math].

\[ 36a^4-9b^2= (6a^2)^2-(3b)^2\]

Resposta: \[ 36a^4-9b^2=(6a^2+3b)(6a^2-3b) \]