Equações de 2° grau
As equações do segundo grau são fundamentais na matemática e possuem diversas aplicações no cotidiano, desde cálculos de áreas e trajetórias até modelos econômicos. Vamos entender melhor sua estrutura e os métodos mais comuns para resolvê-las.
DEFINIÇÕES E APLICAÇÕES:
Uma equação do segundo grau é toda equação que pode ser escrita na forma:
\[
ax^2 + bx + c = 0
\]
Onde:
- [math] a, b, c [/math] são coeficientes reais.
- [math] a\neq 0 [/math] .
EXEMPLO:
\[
x^2 – 5x + 6 = 0
\]
Sendo:
[math] a = 1; b = -5; c = 6 [/math]
MÉTODOS DE RESOLUÇÃO:
Existem várias formas de resolver uma equação do segundo grau. Vamos explorar os dois principais métodos:
1. Fórmula de Bhaskara
Esse é o método mais conhecido e utiliza o cálculo do discriminante [math] (\Delta) [/math] para encontrar as raízes da equação.
Passo a passo:
Esse é o método mais conhecido e utiliza o cálculo do discriminante [math] (\Delta) [/math] para encontrar as raízes da equação.
Passo a passo:
1. Identifique os valores de a, b e c.
2. Calcule o discriminante [math] (\Delta) [/math]:
\begin{equation}
\Delta = b^2 – 4ac
\end{equation}
3. Substitua na fórmula de Bhaskara:
\begin{equation}
x = \frac{-b \pm \sqrt \Delta}{2a}
\end{equation}
Exemplo: Resolva [math] x^2 -5x+6=0 [/math]:
- Identificando os coeficientes: a=1, b=−5, c=6.
- Calculando o discriminante:
\begin{equation}
\Delta = (-5)^2 – 4(1)(6) \\
\Delta = (25) – (24) \\
\Delta = 1
\end{equation}
- Substituindo na fórmula:
\begin{equation}
x = \frac{-(-5) \pm \sqrt 1}{2(1)} \\
x = \frac{(5) \pm 1}{2} \\
x_1 = \frac{5+1}{2} = \frac{6}{2} = 3 \\
x_2 = \frac{5-1}{2} = \frac{4}{2} = 2 \\
\end{equation}
As soluções da equação são x = 3 e x = 2.
2. Método da Soma e Produto
Esse método é mais rápido quando a equação pode ser facilmente fatorada. Ele se baseia na seguinte ideia:
Se uma equação for do tipo [math] x^2+bx+c=0 [/math], então suas raízes [math] x_1 [/math] e [math] x_2 [/math] devem satisfazer:
\begin{equation}
x_1+x_2 = -\frac {b}{a}\\
x_1 \cdot x_2 = \frac {c}{a}\\
\end{equation}
Exemplo: Resolva [math] x^2-5x+6 [/math]:
- Queremos que dois números que somam 5 e multiplicam 6, pois:
\begin{equation}
-\frac {b}{a} = -\frac{(-5)}{1}=5\\
\frac {c}{a}= \frac{6}{1}=6\\
\end{equation}
- Os dois números que satisfazem isso são 2 e 3, pois:
\begin{equation}
2+3=5 \\
2 \cdot 3 = 6
\end{equation}
- Assim podemos escrever a equação como um produto:
\begin{equation}
(x-2)(x-3) = 0
\end{equation}
- Para que esse produto seja zero, uma das expressões deve ser zero:
\begin{equation}
x-2=0 \\
x=2
\end{equation}
\begin{equation}
x-3=0 \\
x=3
\end{equation}
Ou seja, encontramos as mesmas raízes que com a fórmula de Bhaskara.
COMPORTAMENTO DO GRÁFICO DAS EQUAÇÕES DE 2° GRAU:
O gráfico de uma equação do segundo grau é uma parábola no plano cartesiano. O comportamento dessa parábola depende do coeficiente a, do discriminante [math] \Delta [/math] e dos coeficientes b e c.
1. Influência do Coeficiente a (Concavidade da Parábola)
- Se a > 0 → a parábola está voltada para cima (sorriso 😊).
- Se a < 0 → a parábola está voltada para baixo (tristeza 😢).
Isso ocorre porque o coeficiente a determina a taxa de crescimento ou decrescimento do termo [math] x^2 [/math].
Exemplo:
- [math] y= x^2 [/math] → parábola para cima.
- [math] y= -x^2 [/math] → parábola para baixo
2. Influência do Discriminante [math] \Delta [/math] (Número de Soluções Reais)
O discriminante [math] \Delta= b^2-4ac [/math] determina quantas vezes a parábola cruza o eixo x:
- Se [math] \Delta >0 [/math]→ a parábola corta o eixo x em dois pontos (duas raízes reais distintas)
Exemplo: [math] y = x^2-5x+6 [/math] → [math] \Delta =1 [/math], tem raízes x=2 e x=3
- Se [math] \Delta =0 [/math] → a parábola corta o eixo x em um único ponto (uma raiz real dupla)
Exemplo: [math] y = x^2-4x-4 [/math] → [math] \Delta =0 [/math], tem uma única raiz x=2 .
- Se [math] \Delta <0 [/math] → a parábola não corta o eixo x (não há raízes reais, apenas complexas).
Exemplo: [math] y = x^2-x+1 [/math] → [math] \Delta =-3 [/math], sem soluções reais.
3. Ponto de Máximo ou Mínimo (Vértice da Parábola)
O vértice da parábola é o ponto onde a função atinge o valor mínimo ou máximo, dependendo do sinal de a. Ele é calculado por:
[math] x_v= – \frac{b}{2a} [/math]
[math] y_v= – \frac{\Delta}{4a} [/math]
- Se a > 0 → o vértice é um mínimo (parábola para cima)
- Se a < 0 → o vértice é máximo (parábola para baixo)
Exemplo: Para [math] y=x^2 -4x +4 [\math], temos:
[math] x_v= – \frac{-4}{2(1)} = \frac{4}{2} = 2 [/math]]
[math] y_v= – \frac{-0}{2(1)} = 2 [/math]
O vértice está em (2,0).
4. Ponto de Interseção com o Eixo y (Coeficiente c)
O coeficiente c indica o ponto onde a parábola cruza o eixo y (quando x=0 ):
\begin{equation}
y=c
\end{equation}
Exemplo: Para [math] y= x^2 -5x+6 [/math], temos c = 6, então a parábola cruza o eixo y no ponto (0,6).
RESUMO DO COMPORTAMENTO DO GRÁFICO
| Sinal de | Valor de | Raízes da Equação | Interação com Eixo | Forma do Gráfico |
[math] a > 0 [/math] | [math] \Delta > 0 [/math] | Duas Raízes reais distintas | Corta o eixo x em dois pontos | Parábola para cima com dois zeros |
[math] a > 0 [/math] | [math] \Delta = 0 [/math] | Uma raiz real (dupla) | Toca o eixo x em um único ponto | Parábola para cima com vértice sobre o eixo x |
[math] a > 0 [/math] | [math] \Delta < 0 [/math] | Nenhuma raiz real | Não toca o eixo x | Parábola para cima sem zeros reais |
| [math] a < 0 [/math] | [math] \Delta > 0 [/math] | Duas Raízes reais distintas | Corta o eixo x em dois pontos | Parábola para baixo com dois zeros |
[math] a < 0 [/math] | [math] \Delta = 0 [/math] | Uma raiz real (dupla) | Toca o eixo x em um único ponto | Parábola para baixo com vértice sobre o eixo x |
| [math] a < 0 [/math] | [math] \Delta < 0 [/math] | Nenhuma raiz real | Não toca o eixo | Parábola para baixo sem zeros reais |