Logaritmo

Definição

Dado um número real positivo [math] \textbf{b}\neq 1 [/math], um número positivo [math] \textbf{x} [/math] e um número real [math] \textbf{y} [/math] , o logaritmo de [math] \textbf{x} [/math] na base [math] \textbf{b} [/math]  é definido como o número [math] \textbf{y} [/math]  tal que:

\[
b^y = x
\]

Assim, temos:

\[
\log_b(x) = y \iff b^y = x
\]

Por exemplo:

\[
\log_2(8) = 3,\ porque\  2^3 = 8
\]

Propriedades dos Logaritmos

As propriedades dos logaritmos são extremamente úteis para simplificar e resolver problemas que envolvem exponenciação e multiplicação.

• Propriedade do Produto:
  \[
  \log_b(x \cdot y) = \log_b(x) + \log_b(y)
  \]
  Essa propriedade indica que o logaritmo de um produto é igual a soma dos logaritmos dos fatores.
  • Exemplo:
    \[
    \log_2(8 \cdot 4) = \log_2(8) + \log_2(4)
    \]
    Sabe-se que:  \[ \log_2(8) = 3 \] e,
    \[\log_2(4) = 2 \]
    Então:
    \[
    \log_2(8 \cdot 4) = 3 + 2 = 5
    \]

 

• Propriedade do Quociente:
  \[
  \log_b\left(\frac{x}{y}\right) = \log_b(x) – \log_b(y)
  \]
  Essa propriedade indica que o logaritmo de um quociente é igual a diferença entre os logaritmos do dividendo e do divisor.
  • Exemplo:
    \[
    \log_3\left(\frac{81}{9}\right) = \log_3(81) – \log_3(9)
    \]
    Sabe-se que: \[ \log_3(81) = 4\] e,
    \[ \log_3(9) = 2 \]Então:
    \[
    \log_3\left(\frac{81}{9}\right) = 4 – 2 = 2
    \]

 

• Propriedade da Potência:
  \[
  \log_b(x^n) = n \cdot \log_b(x)
  \]
  Essa propriedade indica que o logaritmo de uma potência é igual ao expoente multiplicado pelo logaritmo da base.
  • Exemplo:
    \[
    \log_5(25^3) = 3 \cdot \log_5(25)
    \]
    Como: \[ \log_5(25) = 2 \]Tem-se:
    \[
    \log_5(25^3) = 3 \cdot 2 = 6
    \]

 

• Mudança de Base:
  \[
  \log_b(x) = \frac{\log_a(x)}{\log_a(b)}
  \]
  Essa propriedade permite mudar a base de um logaritmo. 
  • Exemplo:
    \[
    \log_2(10) = \frac{\log_{10}(10)}{\log_{10}(2)}
    \]
    Sabe-se que: \[ \log_{10}(10) = 1 \]Então:
    \[
    \log_2(10) = \frac{1}{\log_{10}(2)} \approx 3.322
    \]

 

• Logaritmo de 1: 
  \[
  \log_b(1) = 0
  \]
  Isso ocorre para [math] b\neq 0 [/math], pois todo número elevado a zero é igual a 1.

 

• Logaritmo da própria base:
  \[
  \log_b(b) = 1
  \]
  Isso ocorre pois todo número elevado a 1 é igual a ele mesmo.

 

Exercício – (UFRGS – 2018) Se log₃ x + log₉ x = 1, então o valor de x é

a) [math]\sqrt[3]{2}[/math].
b) [math]\sqrt{2}[/math].
c) [math]\sqrt[3]{3}[/math].
d) [math]\sqrt{3}[/math].
e) [math]\sqrt[3]{9}[/math].

• Resolução:

A equação dada é:

\[
\log_3 x + \log_9 x = 1
\]

• Passo 1: Substituindo log₉ x, em termos de log₃ x:

Sabe-se que: \[9 = 3^2\]Então pode-se escrever:

\[
\log_9 x = \frac{\log_3 x}{\log_3 9}
\]

Como: \[\log_3 9 = 2\]Tem-se:

\[
\log_9 x = \frac{\log_3 x}{2}
\]

• Passo 2: Substituindo na equação original:

Substitui-se: \[\log_9 x\]Na equação dada:

\[
\log_3 x + \frac{\log_3 x}{2} = 1
\]

• Passo 3: Resolvendo a equação:

Coloca-se os dois termos sobre o mesmo denominador:

\[
\frac{2 \log_3 x}{2} + \frac{\log_3 x}{2} = 1
\]

\[
\frac{3 \log_3 x}{2} = 1
\]

Multiplica-se ambos os lados por 2 para eliminar o denominador:

\[
3 \log_3 x = 2
\]

Agora, dividi-se ambos os lados por 3:

\[
\log_3 x = \frac{2}{3}
\]

• Passo 4: Encontrando o valor de x:

Reescrevendo a equação na forma exponencial:

\[
x = 3^{\frac{2}{3}}
\]

Esse valor também pode ser expresso como:

\[
x = \sqrt[3]{9}
\]

Portanto, a resposta é letra E.