Sistemas Lineares
O que é um Sistema Linear?
Um sistema linear é um conjunto de equações que envolve variáveis relacionadas de forma linear. Isso quer dizer que as variáveis aparecem apenas multiplicadas por números ou somadas/subtraídas, sem potências, raízes ou multiplicações entre elas.
Exemplo:
Vamos considerar o seguinte sistema com duas variáveis, [math] x [/math] e [math] y [/math]:
[math] \left\{\begin{array}{l} x+y=5 \\ 2x-y=1 \end{array}\right.[/math]
Nosso objetivo é descobrir quais valores de [math] x [/math] e [math] y [/math] satisfazem as duas equações ao mesmo tempo. Esses valores são chamados de solução do sistema. Nem todo sistema possui solução e as vezes pode ter mais de uma solução, neste material trabalharemos apenas com sistemas com uma única solução.
Como Resolver um Sistema Linear?
Existem três métodos principais:
- Substituição
- Adição/Eliminação
- Matriz (ou Regra de Cramer)
Passo a Passo para Resolver pelo Método da Substituição
Passo a Passo para Resolver pelo Método da Substituição
Passo 1: Escolha uma equação e isole uma variável
Vamos pegar a primeira equação, [math] x+y=5 [/math], e isolar o [math] y [/math]
Agora sabemos que [math] y [/math] depende de [math] x [/math].
Passo 2: Substitua na outra equação
Substituímos [math] y=5-x [/math] na segunda equação, [math] 2x − y =1 [/math] :
[math] 2x − (5−x) = 1 [/math]
Aqui, tomem cuidado para distribuir corretamente o sinal de menos:
[math] 2x −5 + x = 1 [/math]
Passo 3: Resolva para a variável restante
Agora, simplificamos para encontrar x:
[math] 2x + x −5 = 1 [/math]
[math] 3x − 5 = 1 [/math]
[math] 3x =6 [/math]
[math] x=2 [/math]
Passo 4: Substitua o valor encontrado de volta na equação isolada
Agora que sabemos que [math] x = 2 [/math], substituímos isso em [math] y = 5 − x [/math] :
[math] y = 5 − 2 = 3 [/math]
Solução do sistema: [math] x = 2 [/math] e [math] y = 3 [/math]
Passo a Passo para Resolver pelo Método da Adição/Eliminação
Este método consiste em somar ou subtrair as equações para eliminar uma das variáveis. Vamos ver como funciona:
Passo 1: Alinhe as equações e escolha uma variável para eliminar
Escrevemos o sistema alinhando as variáveis:
[math] \begin{array}{|l} x + y = 5 \\ 2x − y = 1 \end{array}[/math]
Queremos eliminar o [math] y [/math]. Note que o coeficiente de [math] y [/math] na primeira equação é [math] +1 [/math], e na segunda é [math] −1 [/math]. Somando as duas equações, o [math] y [/math] desaparece!
Passo 2: Some ou subtraia as equações
Somando as duas equações:
[math] \begin{array}{l} x + y = 5 \\ + \\ 2x − y = 1 \end{array}[/math]
temos
[math] ( x + y ) + ( 2x − y) = 5 + 1 [/math]
[math] x + 2x + y − y = 6 [/math]
[math] 3x = 6 [/math]
Passo 3: Resolva para a variável restante
[math] x=\frac{6}{3}=2 [/math]
Passo 4: Substitua o valor encontrado em uma das equações originais
Agora que sabemos que [math] x = 2 [/math], substituímos na primeira equação:
[math] x + y = 5 [/math]
[math] 2 + y = 5 [/math]
[math] y = 3 [/math]
Solução do sistema: [math] x = 2, y = 3 [/math].
Passo a Passo para Resolver pelo Método Matriz (ou Regra de Cramer)
Este método usa matrizes e determinantes para encontrar as soluções. É mais útil quando temos sistemas maiores, mas também funciona para este exemplo.
Passo 1: Escreva a matriz associada ao sistema
Podemos escrever o sistema na forma matricial [math] A * X = B [/math], onde:
- A é a matriz dos coeficientes:
[math] A = \begin{bmatrix}
1 & 1 \\
2 & -1
\end{bmatrix} [/math]
- [math] X [/math] é a matriz das variáveis:
[math] X = \begin{bmatrix}
x \\ y \end{bmatrix} [/math]
- B é a matriz dos resultados:
[math] B = \begin{bmatrix} 5 \\ 1 \end{bmatrix} [/math]
Logo multiplicando a matriz [math] A [/math] pela matriz [math] X [/math]
\[ \begin{bmatrix} 1 & 1 \\
2 & -1
\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
x \\ y \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}
x+y \\
2x-y
\end{bmatrix} \]
e igualando a matriz [math] B [/math] temos
\[\begin{bmatrix}
x+y \\
2x-y
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 5 \\ 1 \end{bmatrix} \]
Que é equivalente ao sistema [math] \left\{\begin{array}{l} x+y=5 \\ 2x-y=1 \end{array}\right.[/math]
O sistema [math] A * X = B [/math] pode ser resolvido usando a fórmula da Regra de Cramer:
[math] x = \frac{det(A_{x})}{det(A)} [/math]
[math] y = \frac{det(A_{y})}{det(A)} [/math]
Passo 2: Calcule o determinante da matriz A
O determinante de A é dado por:
[math] det(A) = (1) (−1) − (1) (2) = −1 − 2 = −3 [/math]
Passo 3: Substitua as colunas para encontrar A_{x} e A_{y}
- Para [math] A_{x} [/math], substituímos a primeira coluna de A pela matriz B:
[math] A_{x} = \begin{bmatrix}
5 &1 \\
1&-1
\end{bmatrix} [/math]
O determinante de [math] A_{x} [/math] é:
[math] \text{det}(A_x) = (5)(-1) – (1)(1) = -5 – 1 = -6 [/math]
- Para [math] A_{y} [/math], substituímos a segunda coluna de A pela matriz B:
[math] A_{y}= \begin{bmatrix}
1 & 5 \\
2 & 1
\end{bmatrix} [/math]
O determinante de [math] A_{y} [/math] é:
[math] \text{det}(A_y) = (1)(1) – (2)(5) = 1 – 10 = -9 [/math]
Passo 4: Calcule x e y
Agora usamos a fórmula:
[math] x = \frac{\text{det}(A_x)}{\text{det}(A)} = \frac{-6}{-3} = 2 [/math]
[math] y = \frac{\text{det}(A_y)}{\text{det}(A)} = \frac{-9}{-3} = 3 [/math]
Solução do sistema: [math] x = 2, y = 3 [/math].
Resumo dos Métodos
- Substituição: Resolvemos uma equação para uma variável e substituímos na outra.
- Adição/Eliminação: Manipulamos as equações para eliminar uma variável somando ou subtraindo.
- Matriz (Regra de Cramer): Usamos determinantes para resolver de forma organizada, especialmente útil para sistemas maiores.
Todos os métodos levam à mesma solução:
[math] \text{x = 2, y = 3.} [/math]
Agora é sua vez! Escolha um sistema diferente e tente resolver pelos três métodos. Alguma dúvida? 😊