Módulo

Módulo ou valor absoluto de um número representa a distância que esse número está do zero na reta numérica. Por exemplo, no caso dos números inteiros, é um conjunto que inclui os números naturais, o zero e os valores negativos dos naturais:

ℤ = { …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, … },

o módulo é utilizado principalmente para representar grandezas com esses números que não possuem sinal, como distância, erro e variações.

Seja $x$ um número real. O módulo de $x$, denotado por $|x|$, é definido como:

$$|x| = \begin{cases} x, & \text{se } x \geq 0 \\ -x, & \text{se } x < 0 \end{cases}$$

• Números positivos permanecem iguais.
• Números negativos se tornam positivos.

Exemplos:

PROPRIEDADES DO MÓDULO

1. Não negatividade: o módulo nunca será negativo.

2. Produto: O módulo do produto é o produto dos módulos.

3. Quociente: O módulo de um quociente é igual ao quociente dos módulos (desde que o denominador seja diferente de zero).

4. Potência: O módulo de uma potência é igual à potência do módulo.

EQUAÇÕES MODULARES

O módulo representa a distância entre um número e o zero:

Significa que a distância entre $x$ e $a$ é $d$.

Exemplo:

EXERCÍCIO RESOLVIDO 

(UDESC) Universidade do Estado de Santa Catarina: A soma dos valores de x, que formam o conjunto solução da equação 5∣x∣+2=12, é:

A= $3$

B= $0$

C= $-1$

D= $2$

E= $-3$
$$\mathrm{}$$

1. Subtraindo 2 dos dois lados:
$$\mathrm{}$$

2. Dividindo por 5:
$$\mathrm{}$$

Sabemos que:
$$\mathrm{}$$

com $a>0$, possui duas soluções: $x=2$ e $x=-2$

3. Calculando a soma das soluções:

Resposta Final: B$=0$

EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO

1) Resolva as equações modulares:

a) $|x + 3| = 7$

$$x = 4 \;\; \text{ou} \;\; x = -10$$

b) $| 2x – 3| = 11$

$$x = 7 \;\; \text{ou} \;\; x = -4$$

c) $| 3x + 2| = x + 1$

$$x = -\frac{1}{2} \;\; \text{ou} \;\; x = -\frac{3}{4}$$

d) $|4x-1|= x + 1$

$$x = \frac{2}{3} \;\; \text{ou} \;\; x = 0$$

e) $|3x+1| = | x-3|$

$$x = -2 \;\; \text{ou} \;\; x = \frac{1}{2}$$

f) $|x|^2 + |x| – 6= 0$

$$x = -2 \;\; \text{ou} \;\; x = 2$$