Potenciação
1.Definição
-a base multiplica-se por si mesma n vezes;
\[ a^{n}=a_{1}\cdot a_{2}\cdot a_{3}\cdot ….\cdot a_{n}\]
-sendo, [math] a [/math]- base [math] n [/math]- expoente;
-exemplos :
\[2^{3}=2\cdot 2\cdot 2=8 \]
\[ 3^{4}=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=81\]
2.potências de expoentes [math] 1 [/math] e [math] 0 [/math]
–toda potência de base diferente de zero elevado a zero será um,sendo [math] a\not\equiv 0 [/math] , pois zero elevado a zero é uma indeterminação;
\[ a^{0}=1\]
-toda potência elevada a um será sempre ela mesma;
\[ a^{1}=a \]
3.potências com bases negativas
potências com bases negativas ocorrem de duas formas , contabilizando o sinal negativo e não contabilizando, como demonstrado a seguir:
– [math]-a^{n}[/math]o sinal negativo não está sendo contabilizado pelo expoente, logo a conta se realiza da mesma maneira mantendo o sinal sempre negativo ;
-[math](-a)^{n}[/math] o sinal negativo está sendo contabilizado pelo expoente, logo a conta se realiza do mesmo, mas inverte-se o sinal quando o expoente for par, e mantém o sinal quando o expoente for ímpar(exp impar = negativo / exp par =positivo); exemplos:
\[ -2^{4}=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=-16\]
\[(-8)^{3}= (-8)\cdot (-8) \cdot (-8)=-512\]
\[(-6)^{2} =(-6)\cdot (-6)=36\]
4.propriedades de potências
4.1 produto de potências de mesma base
-toda vez que se multiplicar potências de mesma base pode-se somar os expoentes repetindo a base; exemplo:
\[a^{n}\cdot a^{m} = a^{n+m}\]
\[7^{3}\cdot 7^{7} = 7^{3+7}=7^{10}\]
4.2 divisão de potências de mesma base
-toda vez que se dividir potências de mesma base pode-se subtrair os expoentes repetindo a base; exemplo:
\[\frac{a^{n}}{a^{m}}=a^{n-m}\]
\[\frac{5^{7}}{5^{3}}=5^{7-3}=5^{4}\]
4.3potência de uma multiplicação
–toda vez que uma multiplicação estiver elevada a algum expoente todos os números da multiplicação estarão elevados ao expoente;
\[(a\cdot b)^{n} = a^{n}\cdot b^{n}\]
\[(10\cdot 7)^{8} = 10^{8}\cdot 7^{8}\]
4.4potência de uma divisão
-toda vez que uma divisão estiver elevada a algum expoente todos os números da divisão estarão elevados ao expoente;
\[\left(\frac{a}{b}\right)^{n}=\frac{a^{n}}{b^{n}}\]
\[\left(\frac{5}{4}\right)^{9}=\frac{5^{9}}{4^{9}}\]
4.5potência de expoente negativo
toda vez que o expoente for negativo inverte-se sua base e em seguida se realiza a potenciação normalmente;
\[a^{-n}=\left(\frac{1}{a}\right)^{n}\]
\[3^{-2}=\left(\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{1}{9}\]
4.6potência com expoente racional
-uma base com expoente racional se transforma em uma radiciação, no qual o numerador se torna o expoente do radicando e o denominador o índice;
\[a^{\frac{n}{m}}=\sqrt[m]{a^{n}}\]
“quem está no sol vai para sombra, quem está na sombra vai para o sol”
\[27^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{27^{1}}=3\]
5.0Exemplo prático
1) Uma indústria possui 64 maquinas, que cada uma produz 16 peças por dia , quantas peças essa indústria produzirá em 8 dias?
a)[math]2^{11}[/math]
b)[math]2^{12}[/math]
c)[math]2^{13}[/math]
d)[math]2^{7}[/math]
e)[math]2^{8}[/math]
Resposta
resolução passo a passo: gabarito c)[math]2^{13}[/math]
primeiro passo: transformar os números dados em forma de potência de base 2:
\[ 2^{6}=64\]
\[ 2^{4}=16\]
\[ 2^{3}=8\]
segundo passo: agora basta multiplicar os valores e aplicar a propriedade de multiplicação de expoentes de mesma base( repete a base e soma os expoentes)
Exercícios de Potenciação
Instruções:
- Use ^ para potência (ex: 2^3)
- Use * para multiplicação
- Use / para divisão
- Se não houver resultado, digite: Indeterminado