TCC 2021
| Título: | Teoria das Curvas Planas para Métricas Diferenciáveis |
| Autor: | Ailton Cezar Alves |
| Resumo: | A Geometria Diferencial aplica conceitos e técnicas do Cálculo Diferencial em problemas geométricos, sendo essa uma área relativamente nova dentro da Matemática. Iniciada em 1828 com o artigo intitulado Disquisitiones Generales circa Superficies Curvas, no qual Carl Friedrich Gauss apresenta métodos para se estudar curvas e superfícies. Neste trabalho Gauss enunciou e demonstrou o Teorema Egregium, estabelecendo uma importante propriedade das superfícies. Bernhard Riemann estendeu a teoria de Gauss para espaços de dimensões superiores e introduziu a noção de variedade de maneira a terem diversas propriedades geométricas, revolucionando a geometria e conduzindo à moderna Geometria Diferencial. Todavia, a área se torna completamente autônoma com a descoberta das Geometrias Não Euclidianas no século XIX por Bolyai, Lobatchevski e, sobretudo, Gauss e Riemann. A linguagem e os modelos da Geometria Diferencial têm encontrado aplicações em áreas como a Relatividade e a Mecânica Celeste, e em áreas tão diversas quanto Economia, Estatística, Engenharia e Computação Gráfica, Engenharia Cartográfica, Medicina, entre outras, demonstrando seu caráter interdisciplinar, vitalidade e se desenvolvido em várias direções, resultando em um considerável volume de pesquisas nos dias atuais. Assim, o objetivo deste trabalho é fazer uma releitura do trabalho Teoria de Curvas para Métricas Não-Euclidianas, restringindo o estudo ao plano cartesiano de modo a torna-lo acessível a graduandos e licenciandos em Matemática. Aqui discutimos a Teoria Local das Curvas Planas em uma Métrica Diferenciável, constante ou diagonal, pleiteando a influência da métrica sobre os vetores, tanto em relação ao seu comprimento, quanto em relação ao ângulo formado entre dois vetores, exibindo exemplos que contrariam as ideias formadas quando trabalhamos com a métrica Euclidiana. Deste modo, a Teoria Local das Curvas Planas em uma Métrica Diferenciável serve de pretexto para introduzir ferramentas matemáticas, das quais muitas envolvem ideias ou conceitos que podem ser generalizados em outros contextos, como, por exemplo, para curvas em superfícies ou para dimensões mais altas. |
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| Defesa: | 08-03-2021 |
| Título: | Os Módulos Indecomponíveis sobre as Álgebras Tree Oriented Pullback |
| Autor: | Amanda de Melo Souza |
| Resumo: | A Teoria de Representação de Álgebras tem como um dos objetivos fundamentais classificar determinadas álgebras a partir de seu conjunto de módulos. Neste trabalho, busca-se compreender de forma introdutória a teoria de álgebras e módulos, com o objetivo de estudar especificamente o conjunto de módulos indecomponíveis sobre as álgebras tree oriented pullback. O trabalho foi desenvolvido por meio de um estudo teórico. Dado dois homomorfismos sobrejetores de álgebras f: A->B e g: C->B, o pullback R é uma subálgebra de AxC definida por {(a,c) em AxC / f(a)=g(c)}, o quiver de R pode ser determinado a partir dos quivers de A e C. A partir dessas informações, é possível compreender os módulos sobre a álgebra. O principal resultado estudado revela que os módulos indecomponíveis sobre R, a álgebra tree oriented pullback, se restringem aos módulos indecomponíveis existentes sobre as álgebras A e C envolvidas. A importância de se estudar os módulos sobre essa determinada álgebra é que a partir dos resultados relacionados aos módulos é possível descobrir características sobre a álgebra, sem a necessidade de conhecê-la essencialmente. |
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| Defesa: | 04-03-2021 |
| Título: | Inferência Estatística para proporção de população finita Multivariada |
| Autor: | Ana Carolina Davoli |
| Resumo: | A Comissão Própria de Avaliação (CPA) da Universidade Federal de Alfenas (UNIFALMG), realiza semestralmente uma avaliação institucional discente. Essa avaliação é referente a vários eixos, sendo um deles a avaliação dos docentes e disciplinas ministradas por eles. Para a avaliação é usada uma variável do tipo qualitativa com 5 categorias, descrevendo de excelente a péssimo os questionamentos. Um estudo analítico para este caso se depara com populações finitas e pequenas, se agravando com pequenas amostras. Este trabalho foi desenvolvido com objetivo de propor à CPA o tratamento inferencial deste questionário visando avaliar métodos de estimação intervalar multivariados para populações finitas. Na revisão de literatura, foi identificado que muitos estudos utilizam distribuição multinomial, que acabam por assumir populações infinitas, dificultando a escolha de um método analítico que seja adequado aos cenários deste problema. Com isso, surgiu a necessidade de investigar métodos que atenderiam e que se baseiam na distribuição hipergeométrica, para avaliar as possíveis diferenças em relação aos métodos que utilizam a multinomial. Os melhores intervalos multinomiais foram selecionados e também adaptados com fator de correção para populações finitas e implementados para análise. Com a análise, não foi possível eleger um único método como sendo o melhor, pois a eficácia do método depende no cenário do qual será aplicado, com isso, faz-se necessário avaliar os parâmetros populacionais para escolher o método que melhor se ajusta. |
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| Defesa: | 04-03-2021 |
| Título: | Modelos mistos aplicados à variação genética do perfil de ácidos graxos e sólidos totais do leite |
| Autor: | Andréia do Carmo de Oliveira |
| Resumo: | Modelos lineares mistos podem ser definidos como modelos que incluem efeitos fixos e aleatórios adicionalmente ao efeito do resíduo e à média. No melhoramento genético animal, os efeitos genéticos são considerados como efeitos aleatórios e o modelo misto é utilizado para a predição do mérito genético dos animais e estimação da variância do componente genético. Com a recente disponibilidade das informações genômicas do animal, tornou-se ainda possível expandir e aumentar a acurácia de predição por meio do aumento do número e qualidade das informações consideradas. Dessa forma, o objetivo neste estudo foi utilizar o modelo misto visando à estimação da variância aditiva e predição dos efeitos aleatórios para características de produção de bovinos leiteiros. Para tanto, foram utilizados 62.740 dados de produção de leite em (kg/dia), e porcentagem de sólidos totais, ácidos graxos saturados e insaturados no leite de 6.022 vacas da raça Holandesa. Adicionalmente, foram utilizadas as informações do genótipo de 1.152 dessas vacas. Os componentes de variância bem como as predições dos efeitos aleatórios foram obtidos por meio de um modelo misto sob o método da máxima verossimilhança restrita com o algoritmo AI (average information), considerando o efeito genético como aleatório. Coeficientes de herdabilidade moderados foram estimados para teor de sólidos totais e ácidos graxos saturados, sendo 0,28 e 0,24 respectivamente. Acurácias altas (maiores que 0,70) foram obtidas para os valores preditos para teor de sólidos totais e ácidos graxos saturados, sendo 0,758 e 0,703, respectivamente. Ganhos genéticos e tendências genéticas favoráveis foram verificados para produção de leite e teor de sólidos totais. Verificou-se que existe variação genética para a característica de sólidos totais, indicando o uso dessa característica como critério de seleção em programas de melhoramento animal, estacando-se o fato do de que modelos lineares mistos são adequados na estimação dos componentes de variância das características estudadas. |
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| Defesa: | 02-03-2021 |
| Título: | Uma variação do teorema dos quatro vértices |
| Autor: | Augusto dos Reis Ribeiro |
| Resumo: | A história da Geometria Diferencial se dá através do estudo das curvas, onde o estudo da geometria é feito por técnicas de cálculo. E nesse contexto encontra-se teoremas clássicos como o Teorema Fundamental das Curvas Planas e o Teorema dos Quatro Vértices (TQV). O TQV possui elevada importância no contexto das aplicações da teoria das curvas planas. Este trabalho tem o objetivo de apresentar uma demonstração detalhada do Teorema dos Quatro Vértices, visando posteriormente trazer uma variação deste teorema para curvas na esfera. Para isto realizaremos um estudo de curvas planas e espaciais e apresentaremos conceitos que fundamentam a teoria das curvas e então demonstrando o Teorema dos Quatro Vértices, e através da projeção estereográfica mostraremos a variação deste teorema para curvas na esfera. Tendo em vista a demonstração do Teorema dos Quatro Vértices para curvas no plano e com o estudo das curvas espaciais, espera-se uma generalização para curvas na esfera. |
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| Defesa: | 03-03-2021 |
| Título: | Contribuições da Álgebra Linear para a Teoria dos Códigos Corretores de Erros |
| Autor: | Hernando Batista da Silva |
| Resumo: | No mundo moderno há evidente necessidade de aprimoramento dos sistemas de comunicação, principalmente na transmissão de informações digitais, resultantes do advento das novas tecnologias da informação e comunicação. Assim, no processo de transmissão de mensagens do emissor até o destinatário há interferências diversas que podem comprometer o conteúdo das mesmas. Para diminuir a probabilidade de erro na transmissão de informações digitais, são comumente utilizados os códigos corretores de erros e alguns desses códigos têm como base estrutural elementos da Álgebra Linear. Desta forma, o objetivo deste trabalho é identificar os elementos da Álgebra Linear que podem ser aplicados no processo de construção de códigos corretores de erros. Foram construídos os códigos C(7, 3) e C(8, 4), utilizando elementos de Álgebra Linear, com uma série de exemplos associados a esses códigos. Os resultados obtidos podem ser utilizados em diversificar aplicações, como por exemplo no processo de geração de proteínas em um sistema de comunicação genético. |
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| Defesa: | 05-03-2021 |
| Título: | Códigos Geometricamente Uniformes sobre Anéis Quociente de Inteiros |
| Autor: | Mariana Gabriela Gusmão |
| Resumo: | A Teoria dos Códigos Corretores de Erros tem como principal objetivo detectar e corrigir possíveis erros no processo de transmissão de uma mensagem, para que assim a mensagem possa chegar ao seu destino conforme foi enviada originalmente ou da forma mais confiável possível. No presente trabalho exploramos, por meio de um estudo teórico, os códigos geometricamente uniformes, mais especificamente as subclasses dos códigos perfeitos e quase perfeitos. Inicialmente nos atemos ao estudo de conceitos fundamentais da área de Álgebra, como grupos, subgrupos, anéis e anéis quocientes; sendo estes requisitos básicos para o estudo dos códigos corretores de erros, que foram estudados posteriormente e, finalmente analisamos e comparamos os ganhos obtidos com os códigos quase perfeitos em relação aos perfeitos. Esta classe de códigos possui propriedades muito interessantes e é capaz de corrigir mais erros que a classe de códigos perfeitos. Atualmente essa teoria está presente em pesquisas de diversas áreas, como Matemática, Estatística, Computação, Engenharia Elétrica e Biologia. |
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| Defesa: | 02-03-2021 |
| Título: | Estudo da Teoria Qualitativa de Equações Diferenciais Ordinárias e Aplicação ao Modelo da Toxoplasmose |
| Autor: | Mesek Felipe de Souza |
| Resumo: | A compreensão da teoria qualitativa de equações diferenciais se faz útil ao observar que muitos fenômenos, físicos, econômicos, biológicos, entre outros, podem ser modelados por um sistema de equações diferenciais ordinárias. Este trabalho apresenta uma revisão da teoria básica para o tratamento de sistema de equações diferenciais via ferramentas da teoria qualitativa de equações diferenciais ordinárias. São apresentados resultados a respeito de existência e unicidade das soluções, as definições básicas sobre fluxo, ponto de equilíbrio e órbita, e resultados e definições da teoria de estabilidade segundo Lyapunov. Ao final do trabalho é apresentada uma aplicação, da teoria construída, a um modelo epidemiológico para a doença Toxoplasmose, considerando as populações de gatos e humanos, tendo em vista a busca pelos pontos de equilíbrio endêmico e livre da doença e compreensão da dinâmica existente entre as populações. Para tal estudo, foi efetuada uma pesquisa de natureza básica com abordagem qualitativa de objetivo exploratório, através de uma revisão bibliográfica em livros textos, artigos científicos e documentos online. Assim neste trabalho está presente uma base teórica que permite investigar sistemas de equações diferenciais não lineares, via teoria qualitativa e obter conclusões sobre os respectivos pontos de equilíbrio, isto é, se são estáveis, assintoticamente estáveis, ou instáveis. |
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| Defesa: | 12-03-2021 |
| Título: | Estudo do ajuste de distribuições de probabilidade na análise de precipitações máximas de Machado-MG |
| Autor: | Thales Rangel Ferreira |
| Resumo: | As precipitações pluviais, quando em excesso, podem causar danos como erosão de solos, inundações, prejuízos em obras hidráulicas e rompimentos de barragens e represas, entre outros. O conhecimento sobre a precipitação máxima esperada, numa determinada região, pode auxiliar no planejamento de atividades agrícolas e construções hidráulicas de forma a evitar danos e prejuízos. Para realizar previsão de chuvas intensas, encontram-se na literatura diversos modelos de probabilidade, dentre estes as distribuições Generalizada de Valores Extremos (GEV), Gumbel e Log-Normal. Neste estudo objetivou-se identificar, dentre as distribuições GEV, Gumbel e Log-Normal, qual apresenta as melhores estimativas de precipitação máxima mensal para a cidade de Machado, considerando os tempos de retorno de 3, 5, 10 e 15 anos, e aplicá-la para calcular a precipitação máxima mensal esperada para os tempos de retorno de 5, 10, 25, 50 e 100 anos. A estimação dos parâmetros das distribuições se deu por meio do método da Máxima Verossimilhança. Foram utilizados dados de precipitação relativos aos anos de 1980 a 2016, obtidos no Banco de Dados Meteorológicos para Ensino e Pesquisa do Instituto Nacional de Meteorologia. A partir dos resultados, verificou-se pelo teste de aderência de Kolmogorov-Smirnov que somente a distribuição GEV, referente às séries de máximos de junho e julho, e a distribuição Log-Normal referente à série de máximo de agosto, não se ajustaram. A escolha da distribuição mais adequada para a estimativa da precipitação máxima dos períodos chuvoso e seco ocorreu pelo resultado do erro médio de previsão, que evidenciou que a distribuição GEV forneceu as melhores estimativas da precipitação máxima provável de ambos os períodos no município de Machado. |
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| Defesa: | 03-03-2021 |
| Título: | Análise dos diálogos que ocorrem em uma atividade investigativa envolvendo matemática |
| Autor: | Vinícius Gabriel Silva Nogueira |
| Resumo: | Muitos estudos estão sendo realizados na tentativa de compreender e sugerir melhorias para o atual cenário das aulas de Matemática no ensino básico e superior, que têm se caracterizado, na maioria dos casos, por uma forte presença do ensino tradicional, que consiste na exposição de conceitos, resolução de exercícios, o professor como figura central e o aluno como receptor passivo de conhecimentos. O objetivo desta pesquisa foi analisar como ocorrem diálogos em uma sala de aula por meio de uma atividade investigativa envolvendo matemática, visto que essa metodologia convida os alunos a se envolverem no processo de aprendizagem, conjecturando, argumentando e justificando suas escolhas, em outros termos, a assumir uma postura ativa, diferente do que ocorre no ensino tradicional. Para isso, foi elaborado um conjunto de atividades investigativas sobre probabilidade que foram desenvolvidas, em onze aulas, em uma turma do segundo ano do Ensino Médio de uma escola estadual da cidade de Alfenas/MG. A análise dos diálogos foi feita utilizando três aulas e baseou-se nos três elementos essenciais da caracterização de diálogo (realizar uma investigação, correr riscos e promover a igualdade), bem como as características (estabelecer contato, perceber, reconhecer, posicionar-se, pensar alto, reformular, desafiar e avaliar) do Modelo de Cooperação Investigativa propostos pelo educador matemático Ole Skovsmose. Assim, considero que houve dificuldade em internalizar um espírito investigativo, tanto para o professor quanto para os alunos, mas o diálogo sempre esteve presente, permeando o ensino e uma aprendizagem mútua. A realização dessa análise permitiu uma reflexão sobre prática, visto que foi observada e discutida diferentes perspectivas sobre o jeito de ser, agir, falar e ouvir dos participantes envolvidos na interação. |
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| Defesa: | 05-03-2021 |